平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを3:1に内分する点をEとし、対角線BDを4:1に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明せよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを3:1に内分する点をEとし、対角線BDを4:1に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて証明する。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ とおく。

点Eは辺CDを3:1に内分するので、

$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{d} + \frac{1}{4}\vec{DC} = \vec{d} + \frac{1}{4}\vec{b}$

点Fは対角線BDを4:1に内分するので、

$\vec{AF} = \frac{4\vec{AD} + \vec{AB}}{4+1} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{4}{5}\vec{d}$

次に、$\vec{AE} = k \vec{AF}$ となる実数kが存在することを示すことを目指す。

もしそのようなkが存在すれば、$\vec{AE}$ と $\vec{AF}$ は平行なので、A, F, Eは一直線上にあるといえる。

$\vec{AE} = \vec{d} + \frac{1}{4}\vec{b} = k(\frac{1}{5}\vec{b} + \frac{4}{5}\vec{d})$

$= \frac{k}{5}\vec{b} + \frac{4k}{5}\vec{d}$

$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は一次独立なので、

$\frac{1}{4} = \frac{k}{5}$ かつ $1 = \frac{4k}{5}$ が成り立つ必要がある。

よって $k = \frac{5}{4}$

$\frac{1}{4} = \frac{5/4}{5} = \frac{1}{4}$

$1 = \frac{4(5/4)}{5} = \frac{5}{5} = 1$

よって、k = 5/4 が存在することが示された。

したがって、$\vec{AE} = \frac{5}{4} \vec{AF}$ となるので、$\vec{AE}$ と $\vec{AF}$ は平行。

Aを始点とする平行なベクトルなので、3点A, F, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点A, F, Eは一直線上にある。