以下の不等式が表す領域を $xy$ 平面上に図示する問題です。 (1) $|x| + |y| \le 3$ (2) $1 \le |x-2| + |y-2| \le 3$ (3) $1 \le ||x|-2| + ||y|-2| \le 3$

1. 問題の内容

以下の不等式が表す領域を $xy$ 平面上に図示する問題です。

(1) $|x| + |y| \le 3$

(2) $1 \le |x-2| + |y-2| \le 3$

(3) $1 \le ||x|-2| + ||y|-2| \le 3$

2. 解き方の手順

(1) $|x| + |y| \le 3$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

* $x \ge 0, y \ge 0$ のとき: $x + y \le 3$, つまり $y \le -x + 3$

* $x < 0, y \ge 0$ のとき: $-x + y \le 3$, つまり $y \le x + 3$

* $x < 0, y < 0$ のとき: $-x - y \le 3$, つまり $y \ge -x - 3$

* $x \ge 0, y < 0$ のとき: $x - y \le 3$, つまり $y \ge x - 3$

これらの不等式が表す領域は、4つの直線 $y = -x + 3$, $y = x + 3$, $y = -x - 3$, $y = x - 3$ で囲まれた正方形の内部（境界を含む）です。頂点は $(3, 0), (0, 3), (-3, 0), (0, -3)$ となります。

(2) $1 \le |x-2| + |y-2| \le 3$

$x' = x-2, y' = y-2$ と変数変換すると、$1 \le |x'| + |y'| \le 3$ となります。(1)と同様に考えると、$|x'| + |y'| = 1$ は $x'y'$ 平面上で頂点が $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$ の正方形を表し、$|x'| + |y'| = 3$ は $x'y'$ 平面上で頂点が $(3, 0), (0, 3), (-3, 0), (0, -3)$ の正方形を表します。したがって、$1 \le |x'| + |y'| \le 3$ はこれらの正方形に囲まれた領域を表します。

元の $xy$ 平面に戻すと、$x = x' + 2, y = y' + 2$ となるので、領域は $x'y'$ 平面の領域を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $2$ 平行移動したものになります。結果として、頂点が $(3, 2), (2, 3), (1, 2), (2, 1)$ の正方形と、頂点が $(5, 2), (2, 5), (-1, 2), (2, -1)$ の正方形で囲まれた領域（境界を含む）となります。

(3) $1 \le ||x|-2| + ||y|-2| \le 3$

$x' = |x|, y' = |y|$ と変数変換すると、$1 \le |x'-2| + |y'-2| \le 3$ となります。これは(2)と同じ形なので、領域は $x'y'$ 平面において、頂点が $(3, 2), (2, 3), (1, 2), (2, 1)$ の正方形と、頂点が $(5, 2), (2, 5), (-1, 2), (2, -1)$ の正方形で囲まれた領域です。

ただし、$x' = |x|, y' = |y| \ge 0$ であるため、この領域は第一象限にのみ存在します。

$x' = |x|$ であるから、$x = \pm x'$ となり、$y' = |y|$ であるから、$y = \pm y'$ となります。

したがって、$xy$ 平面上では、第一象限の領域を $x$ 軸, $y$ 軸, 原点に関して対称に拡張した領域となります。すなわち、$x$ 軸, $y$ 軸について対称な領域となります。

具体的には、8個の正方形の和集合となり、それぞれの正方形の頂点は以下のようになります。

内側の正方形： $(\pm 3, \pm 2), (\pm 2, \pm 3), (\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$

外側の正方形： $(\pm 5, \pm 2), (\pm 2, \pm 5), (\pm (-1), \pm 2), (\pm 2, \pm (-1))$

3. 最終的な答え

(1) 頂点が $(3, 0), (0, 3), (-3, 0), (0, -3)$ の正方形の内部（境界を含む）

(2) 頂点が $(3, 2), (2, 3), (1, 2), (2, 1)$ の正方形と、頂点が $(5, 2), (2, 5), (-1, 2), (2, -1)$ の正方形で囲まれた領域（境界を含む）

(3) 8個の正方形の和集合で、それぞれの正方形の頂点は

内側の正方形： $(\pm 3, \pm 2), (\pm 2, \pm 3), (\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$

外側の正方形： $(\pm 5, \pm 2), (\pm 2, \pm 5), (\pm (-1), \pm 2), (\pm 2, \pm (-1))$

です。