$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$L$、辺$OA$の中点を$M$とする。線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$L$、辺$OA$の中点を$M$とする。線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP:PM$を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とする。

点$L$は辺$AB$を$2:3$に内分する点なので、

$\vec{OL} = \frac{3\vec{a} + 2\vec{b}}{3+2} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

点$P$は線分$OL$上にあるので、$s$を実数として

$\vec{OP} = s\vec{OL} = s(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$

点$P$は線分$BM$上にあるので、$t$を実数として

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$

$\frac{2s}{5} = 1-t$

1つ目の式より、$t = \frac{6s}{5}$。

2つ目の式に代入すると

$\frac{2s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$

両辺に5をかけると

$2s = 5 - 6s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

$t = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$\vec{OP} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{2}{8}\vec{b}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$より、

$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM} = \frac{1}{4}\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

したがって、$BP:PM = 3:1$

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$