二つの円に関する問題です。 (3)は、点$(1, -3)$を中心とし、原点を通る円です。 (4)は、2点$(1, 2)$、$(5, 4)$を直径の両端とする円です。

1. 問題の内容

二つの円に関する問題です。

(3)は、点$(1, -3)$を中心とし、原点を通る円です。

(4)は、2点$(1, 2)$、$(5, 4)$を直径の両端とする円です。

2. 解き方の手順

(3) 点$(1, -3)$を中心とし、原点を通る円の方程式を求めます。

円の方程式は、中心を$(a, b)$、半径を$r$とすると、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$で表されます。

中心は$(1, -3)$なので、$(x-1)^2 + (y+3)^2 = r^2$となります。

原点$(0, 0)$を通るので、$(0-1)^2 + (0+3)^2 = r^2$です。

$1 + 9 = r^2$より、$r^2 = 10$となります。

したがって、円の方程式は$(x-1)^2 + (y+3)^2 = 10$です。

これを展開すると、$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 10$

整理すると、$x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0$となります。

(4) 2点$(1, 2)$、$(5, 4)$を直径の両端とする円の方程式を求めます。

円の中心は、2点の中点です。

中点の座標は$(\frac{1+5}{2}, \frac{2+4}{2}) = (3, 3)$です。

半径は、中心$(3, 3)$から$(1, 2)$までの距離です。

$r = \sqrt{(3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

したがって、円の方程式は$(x-3)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt{5})^2$です。

$(x-3)^2 + (y-3)^2 = 5$

これを展開すると、$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 5$

整理すると、$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 13 = 0$となります。

3. 最終的な答え

(3) 円の方程式: $x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0$

(4) 円の方程式: $x^2 + y^2 - 6x - 6y + 13 = 0$