次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3}$

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - 27$ を因数分解します。$27 = 3^3$ なので、$x^3 - 3^3$ の因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用います。

したがって、$x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ となります。

よって、

$\frac{x^3 - 27}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{x - 3} = x^2 + 3x + 9$ (ただし、$x \neq 3$)

したがって、

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 9)$

$x^2 + 3x + 9$ は $x$ の連続関数なので、$x = 3$ を代入して極限を計算できます。

$\lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 9) = 3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$

3. 最終的な答え

27