問題16の(1)、(2)と問題17の式を因数分解する問題です。 (1) $12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$ (2) $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ (3) $x^4 - 7x^2 + 9$

1. 問題の内容

問題16の(1)、(2)と問題17の式を因数分解する問題です。

(1) $12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$

(2) $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$

(3) $x^4 - 7x^2 + 9$

2. 解き方の手順

(1)

$12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20$

$x$ について整理します。

$12x^2 + (y - 31)x + (-6y^2 - 2y + 20)$

$12x^2 + (y - 31)x - 2(3y^2 + y - 10)$

$12x^2 + (y - 31)x - 2(3y - 5)(y + 2)$

$(4x + ay + b)(3x + cy + d)$ の形になると予想して、

$(4x - 3y + 4)(3x + 2y - 5)$

よって、$12x^2 + xy - 6y^2 - 31x - 2y + 20 = (4x - 3y + 4)(3x + 2y - 5)$

(2)

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$

この式は交代式なので、$(x-y)$, $(y-z)$, $(z-x)$ を因数に持ちます。

次数を考えると、全体で5次式であり、各因数が1次式なので、残りの因数は2次式であるはずです。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

確認のため展開します。

$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) = -(x-y)(yz-xz-z^2+zx)(x+y+z) = -(x-y)(yz - z^2 - xz)(x+y+z) = -(x^2yz - xz^2 - x^2z + xyz^2 - yz^2 + yz^3 + xy^2z - yz^2 - xyz^2) = x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

(3)

$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2)^2 - 7x^2 + 9$

$x^4 + 6x^2 + 9 - 13x^2 = (x^2+3)^2 - 13x^2$ ではうまくいきません。

$x^4 - 7x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 + 9 - 13x^2 = (x^2+3)^2 - (x\sqrt{13})^2$

$x^4 - 7x^2 + 9 = x^4 + 2*3x^2 + 9 - 13x^2 = (x^2+3)^2 - 13x^2$

$x^4 + 2x^2 + 1 - 9x^2 = (x^2+1)^2 - (3x)^2 = (x^2+1-3x)(x^2+1+3x) = (x^2-3x+1)(x^2+3x+1)$

$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2 + 3x + 1)(x^2 - 3x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(4x - 3y + 4)(3x + 2y - 5)$

(2) $-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

(3) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$