$2^x = 3^y = 6^z$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ を証明する。

1. 問題の内容

$2^x = 3^y = 6^z$ かつ $xyz \neq 0$ のとき、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ を証明する。

2. 解き方の手順

$2^x = 3^y = 6^z = k$ とおく。ただし、$k > 0$ かつ $k \neq 1$ である。

このとき、

$2 = k^{\frac{1}{x}}$

$3 = k^{\frac{1}{y}}$

$6 = k^{\frac{1}{z}}$

となる。

ここで、$6 = 2 \times 3$ であるから、

$k^{\frac{1}{z}} = k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{y}}$

指数法則より、

$k^{\frac{1}{z}} = k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

よって、

$\frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

したがって、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$