$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$L$, 辺$OA$の中点を$M$とし、線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP$と$PM$の比を求める。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$において、辺$AB$を$2:3$に内分する点を$L$, 辺$OA$の中点を$M$とし、線分$OL$と線分$BM$の交点を$P$とするとき、$BP$と$PM$の比を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OP}$を2通りの方法で表すことを考える。

実数$s, t$を用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OL} + s\vec{OB}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OM} + t\vec{OB}$

と表せる。

$\vec{OL}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

点$L$は辺$AB$を$2:3$に内分する点であるから、

$\vec{OL} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{2+3} = \frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

これを$\vec{OP}$の式に代入すると、

$\vec{OP} = (1-s)(\frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}) + s\vec{OB} = \frac{3(1-s)}{5}\vec{OA} + \frac{2(1-s)}{5}\vec{OB} + s\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{3(1-s)}{5}\vec{OA} + (\frac{2(1-s)}{5} + s)\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{3(1-s)}{5}\vec{OA} + (\frac{2(1-s) + 5s}{5})\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{3(1-s)}{5}\vec{OA} + (\frac{2 + 3s}{5})\vec{OB}$

次に、$\vec{OM}$を$\vec{OA}$で表す。

点$M$は辺$OA$の中点であるから、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA}$

これを$\vec{OP}$の式に代入すると、

$\vec{OP} = (1-t)(\frac{1}{2}\vec{OA}) + t\vec{OB} = \frac{1-t}{2}\vec{OA} + t\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較すると、

$\frac{3(1-s)}{5} = \frac{1-t}{2}$

$\frac{2+3s}{5} = t$

これらの式を解くと、

$6(1-s) = 5(1-t) \Leftrightarrow 6 - 6s = 5 - 5t \Leftrightarrow 1 - 6s = -5t$

$2 + 3s = 5t$

$1 - 6s = -5t$

$2 + 3s = 5t$

足し合わせると、

$3 - 3s = 0 \Leftrightarrow s = 1$

$t = \frac{2 + 3s}{5} = \frac{2 + 3(1)}{5} = \frac{5}{5} = 1$

したがって、$s=1, t=1$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OM} + t\vec{OB}$に$t = 1$を代入すると、

$\vec{OP} = (1-1)\vec{OM} + 1\vec{OB} = \vec{OB}$

これは点$P$が点$B$と一致することを意味し、問題文の条件を満たさない。

どこかで間違えた可能性がある。

点Pは線分OL上にあるので、$\vec{OP} = k\vec{OL}$と表せる。

$\vec{OP} = k(\frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB})$

また、点Pは線分BM上にあるので、$\vec{OP} = (1-t)\vec{OM} + t\vec{OB}$と表せる。

$\vec{OP} = (1-t)\frac{1}{2}\vec{OA} + t\vec{OB}$

係数を比較すると、

$\frac{3k}{5} = \frac{1-t}{2}$

$\frac{2k}{5} = t$

$6k = 5 - 5t$

$2k = 5t$

$6k = 5 - 5t$

$5t = 2k$

$6k = 5 - 2k$

$8k = 5$

$k = \frac{5}{8}$

$t = \frac{2k}{5} = \frac{2(\frac{5}{8})}{5} = \frac{\frac{5}{4}}{5} = \frac{1}{4}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OM} + t\vec{OB} = (1-\frac{1}{4})\vec{OM} + \frac{1}{4}\vec{OB}$

$\vec{OP} = \frac{3}{4}\vec{OM} + \frac{1}{4}\vec{OB}$

$\vec{OP} - \vec{OB} = \frac{3}{4}\vec{OM} - \frac{3}{4}\vec{OB}$

$\vec{BP} = \frac{3}{4}\vec{MB} = \frac{3}{4}(-\vec{BM})$

したがって、

$\vec{BP} = -\frac{3}{4}\vec{BM}$

$\vec{BP} = -\frac{3}{4}(\vec{BP} + \vec{PM})$

$\vec{BP} = -\frac{3}{4}\vec{BP} - \frac{3}{4}\vec{PM}$

$\frac{7}{4}\vec{BP} = -\frac{3}{4}\vec{PM}$

$7\vec{BP} = -3\vec{PM}$

$7BP = 3PM$

$\frac{BP}{PM} = \frac{3}{7}$

$BP : PM = 3:7$

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:7$