問題は、$\frac{1}{4-\sqrt{14}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の2つの値を求めるものです。 (1) $a$ と $b$ の値 (2) $b^2 + a + 3b$ の値

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{4-\sqrt{14}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の2つの値を求めるものです。

(1) $a$ と $b$ の値

(2) $b^2 + a + 3b$ の値

2. 解き方の手順

(1) まず、$\frac{1}{4-\sqrt{14}}$ の分母を有理化します。

$\frac{1}{4-\sqrt{14}} = \frac{1}{4-\sqrt{14}} \cdot \frac{4+\sqrt{14}}{4+\sqrt{14}} = \frac{4+\sqrt{14}}{16-14} = \frac{4+\sqrt{14}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{14}}{2}$

次に、$\sqrt{14}$ の値を概算します。$3^2 = 9$ で $4^2 = 16$ なので、 $3 < \sqrt{14} < 4$ です。

より詳しく、$3.5^2 = 12.25$ で、$3.7^2 = 13.69$、$3.8^2 = 14.44$ なので、$3.7 < \sqrt{14} < 3.8$ となります。

したがって、$\frac{\sqrt{14}}{2}$ は $1.85$ 程度なので、$2 + \frac{\sqrt{14}}{2}$ は $3.85$ 程度となります。

厳密に計算します。

$3 < \sqrt{14} < 4$ より、$\frac{3}{2} < \frac{\sqrt{14}}{2} < \frac{4}{2}$。つまり、$1.5 < \frac{\sqrt{14}}{2} < 2$。

したがって、$2 + 1.5 < 2 + \frac{\sqrt{14}}{2} < 2 + 2$。つまり、$3.5 < 2 + \frac{\sqrt{14}}{2} < 4$。

よって、整数部分 $a$ は 3 となります。

小数部分 $b$ は、$b = (2 + \frac{\sqrt{14}}{2}) - 3 = \frac{\sqrt{14}}{2} - 1$

(2) $b^2 + a + 3b$ の値を計算します。

$b^2 = (\frac{\sqrt{14}}{2} - 1)^2 = \frac{14}{4} - \sqrt{14} + 1 = \frac{7}{2} - \sqrt{14} + 1 = \frac{9}{2} - \sqrt{14}$

$3b = 3(\frac{\sqrt{14}}{2} - 1) = \frac{3\sqrt{14}}{2} - 3$

$b^2 + a + 3b = (\frac{9}{2} - \sqrt{14}) + 3 + (\frac{3\sqrt{14}}{2} - 3) = \frac{9}{2} - \sqrt{14} + \frac{3\sqrt{14}}{2} = \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{9+\sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = \frac{\sqrt{14}}{2} - 1$

(2) $b^2 + a + 3b = \frac{9+\sqrt{14}}{2}$