与えられた10個の関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）せよ。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心が0の場合）せよ。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順でマクローリン展開を求める。

(1) 基本的な関数のマクローリン展開の公式を適用する。

(2) 合成関数や積の形をしている場合は、公式を組み合わせたり、微分を計算して係数を求めたりする。

(3) 必要に応じて、三角関数の倍角の公式などを利用する。

以下、各関数のマクローリン展開を求める。

(1) $e^{3x}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ より、 $e^{3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!}$

(2) $\cosh x$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ なので、

$\cosh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n + (-x)^n}{n!}$

$n$ が奇数のとき $x^n + (-x)^n = 0$ なので、$n = 2k$ （$k$ は整数）のときのみ考える。

$\cosh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k} + x^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$

(3) $\sinh x$

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ なので、

$\sinh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n - (-x)^n}{n!}$

$n$ が偶数のとき $x^n - (-x)^n = 0$ なので、$n = 2k+1$ （$k$ は整数）のときのみ考える。

$\sinh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1} - (-x)^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

(4) $x^2 e^x$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ より、$x^2 e^x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$

(5) $\cos 2x$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ より、$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!}$

(6) $\sin 3x$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ より、$\sin 3x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(3x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{3^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(7) $\sin^2 x$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ より、

$\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!}) = -\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{4^n x^{2n}}{2(2n)!}$

$= \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2^{2n-1} x^{2n}}{(2n)!}$

(8) $\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ より、$\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$

(9) $\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ より、$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(10) $x \log(1+x)$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$ より、$x \log(1+x) = x \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n}$

3. 最終的な答え

(1) $e^{3x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!}$

(2) $\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

(3) $\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(4) $x^2 e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!}$

(5) $\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{4^n x^{2n}}{(2n)!}$

(6) $\sin 3x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{3^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(7) $\sin^2 x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{2^{2n-1} x^{2n}}{(2n)!}$

(8) $\frac{1}{1-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}$

(9) $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

(10) $x \log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n}$