(1) $\frac{1}{1+2x}$ (2) $\frac{1}{(1+2x)^2}$ (3) $\log(1+2x)$

## 問題の回答

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1. 問題の内容

与えられたべき級数展開

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$ ($|x| < 1$)

を利用して、以下の関数のべき級数展開またはマクローリン級数を求める問題です。

1. べき級数展開

(1) $\frac{1}{1+2x}$

(2) $\frac{1}{(1+2x)^2}$

(3) $\log(1+2x)$

2. マクローリン級数

(1) $y = e^{-3x}$

(2) $y = \frac{1}{1-2x}$

3. マクローリン級数

(1) $\cos 3x$

(2) $e^{-x}$

(3) $\sin 3x$

(4) $\log(1-x^2)$

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2. 解き方の手順

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1. べき級数展開

(1) $\frac{1}{1+2x}$

与えられた展開の $x$ を $2x$ で置き換えます。

$\frac{1}{1+2x} = 1 - (2x) + (2x)^2 - (2x)^3 + \dots$

$\frac{1}{1+2x} = 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots$

(2) $\frac{1}{(1+2x)^2}$

(1)の結果を微分します。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+2x} \right) = \frac{-2}{(1+2x)^2}$

$\frac{d}{dx} (1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots) = -2 + 8x - 24x^2 + \dots$

$\frac{-2}{(1+2x)^2} = -2 + 8x - 24x^2 + \dots$

$\frac{1}{(1+2x)^2} = 1 - 4x + 12x^2 - \dots$

(3) $\log(1+2x)$

与えられた展開を積分します。

$\int \frac{1}{1+2x} dx = \int (1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots) dx$

$\frac{1}{2} \log(1+2x) = x - x^2 + \frac{4}{3}x^3 - 2x^4 + \dots + C$

$x=0$を代入すると、$0 = 0 + C$ より、$C = 0$

$\log(1+2x) = 2x - 2x^2 + \frac{8}{3}x^3 - 4x^4 + \dots$

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2. マクローリン級数

(1) $y = e^{-3x}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{-3x} = 1 + (-3x) + \frac{(-3x)^2}{2!} + \frac{(-3x)^3}{3!} + \dots$

$e^{-3x} = 1 - 3x + \frac{9x^2}{2} - \frac{27x^3}{6} + \dots$

$e^{-3x} = 1 - 3x + \frac{9x^2}{2} - \frac{9x^3}{2} + \dots$

(2) $y = \frac{1}{1-2x}$

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

$\frac{1}{1-2x} = 1 + (2x) + (2x)^2 + (2x)^3 + \dots$

$\frac{1}{1-2x} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$

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3. マクローリン級数

(1) $\cos 3x$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ...$

$\cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} - \frac{(3x)^6}{6!} + ...$

$\cos 3x = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} - \frac{729x^6}{720} + ...$

(2) $e^{-x}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...$

(3) $\sin 3x$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ...$

$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \frac{(3x)^7}{7!} + ...$

$\sin 3x = 3x - \frac{27x^3}{6} + \frac{243x^5}{120} - ...$

(4) $\log(1-x^2)$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\log(1-x^2) = -x^2 - \frac{(-x^2)^2}{2} + \frac{(-x^2)^3}{3} - \dots$

$\log(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3} - \dots$

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3. 最終的な答え

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1. べき級数展開

(1) $\frac{1}{1+2x} = 1 - 2x + 4x^2 - 8x^3 + \dots$

(2) $\frac{1}{(1+2x)^2} = 1 - 4x + 12x^2 - \dots$

(3) $\log(1+2x) = 2x - 2x^2 + \frac{8}{3}x^3 - 4x^4 + \dots$

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2. マクローリン級数

(1) $e^{-3x} = 1 - 3x + \frac{9x^2}{2} - \frac{9x^3}{2} + \dots$

(2) $\frac{1}{1-2x} = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + \dots$

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3. マクローリン級数

(1) $\cos 3x = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{27x^4}{8} - \frac{81x^6}{240} + ...$

(2) $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...$

(3) $\sin 3x = 3x - \frac{9x^3}{2} + \frac{81x^5}{40} - \dots$

(4) $\log(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3} - \dots$