関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1) + \log_{\frac{1}{2}}(3-x)$ の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1) + \log_{\frac{1}{2}}(3-x)$ の最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の定義から、真数条件を確認します。

$x+1 > 0$ かつ $3-x > 0$ である必要があります。

これより、$x > -1$ かつ $x < 3$ となるので、$-1 < x < 3$ が定義域となります。

次に、対数の性質を利用して、関数を整理します。対数の和は真数の積になるので、

$y = \log_{\frac{1}{2}}((x+1)(3-x))$ となります。

$y = \log_{\frac{1}{2}}(-x^2 + 2x + 3)$

$f(x) = -x^2 + 2x + 3$ とおくと、 $y = \log_{\frac{1}{2}}(f(x))$ となります。

底が $\frac{1}{2}$ である対数は、真数が大きくなるほど値が小さくなる減少関数です。

したがって、$y$ が最小となるのは、$f(x)$ が最大となるときです。

$f(x) = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 3 = -(x-1)^2 + 4$

$f(x)$ は $x=1$ で最大値 $4$ をとります。

定義域 $-1 < x < 3$ 内で $x=1$ をとるので、 $x=1$ のとき $f(x)$ は最大値 $4$ を取ります。

$y$ の最小値は、$x=1$ のときの $y$ の値なので、

$y_{min} = \log_{\frac{1}{2}}(4) = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-2}) = -2$

3. 最終的な答え

$x = 1$ のとき、最小値 $-2$ をとる。

最小値：$-2$

$x$の値：$1$