関数 $y = \sin^2(3x)$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2(3x)$ を微分してください。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用います。まず、$y = u^2$ とおき、$u = \sin(3x)$ とおきます。

さらに、$v=3x$ とおきます。すると、$u = \sin(v)$となります。

連鎖律を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

まず、$y = u^2$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = 2u$

次に、$u = \sin(v)$ を $v$ で微分すると、

$\frac{du}{dv} = \cos(v)$

そして、$v = 3x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dv}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos(v) \cdot 3 = 6u\cos(v) = 6\sin(3x)\cos(3x)$

ここで、$2\sin(A)\cos(A) = \sin(2A)$の公式を利用します。

$6\sin(3x)\cos(3x) = 3(2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(2(3x)) = 3\sin(6x)$

3. 最終的な答え

$3\sin(6x)$