与えられた積分 $\int \tan^3(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \tan^3(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^3(x)$ を $\tan^2(x) \tan(x)$ と分解します。

次に、$\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1$ という恒等式を使います。

したがって、

$$\int \tan^3(x) dx = \int \tan^2(x) \tan(x) dx = \int (\sec^2(x) - 1) \tan(x) dx$$

$$\int (\sec^2(x) - 1) \tan(x) dx = \int \sec^2(x) \tan(x) dx - \int \tan(x) dx$$

最初の積分 $\int \sec^2(x) \tan(x) dx$ について、置換積分を行います。

$u = \tan(x)$ とすると、$du = \sec^2(x) dx$ となります。

$$\int \sec^2(x) \tan(x) dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C_1 = \frac{1}{2}\tan^2(x) + C_1$$

次の積分 $\int \tan(x) dx$ は、$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ と書き換えることで計算できます。

$$\int \tan(x) dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx$$

ここで、$v = \cos(x)$ とすると、$dv = -\sin(x) dx$ となります。

$$\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} dx = -\int \frac{1}{v} dv = -\ln |v| + C_2 = -\ln |\cos(x)| + C_2$$

したがって、

$$\int \tan^3(x) dx = \frac{1}{2}\tan^2(x) - (-\ln |\cos(x)|) + C = \frac{1}{2}\tan^2(x) + \ln |\cos(x)| + C$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2} \tan^2(x) + \ln|\cos(x)| + C$$