$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x=2$ を代入すると、分子は $2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$、分母は $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ となり、$\frac{0}{0}$ の不定形となります。そこで、分子と分母を因数分解し、約分できる項を探します。

分子 $x^2 - 3x + 2$ を因数分解すると、

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

となります。

分母 $x^2 - 4$ は、差の二乗の形なので、

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

となります。

したがって、

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

となります。

$x \neq 2$ のとき、$x-2$ で約分できるので、

$\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2}$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 1}{x + 2}$

となります。

$x=2$ を代入すると、

$\frac{2 - 1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$