関数 $y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$) について、以下の問いに答える。 (1) $y$ を $\sin 2x$ および $\cos 2x$ を用いて表す。 (2) $y$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$) について、以下の問いに答える。

(1) $y$ を $\sin 2x$ および $\cos 2x$ を用いて表す。

(2) $y$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた関数 $y$ を変形する。

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ より、$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ および $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ である。

また、$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ である。

したがって、

$y = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + 3\sin^2 x$

$= \frac{1+\cos 2x}{2} - \sin 2x + 3\frac{1-\cos 2x}{2}$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x - \sin 2x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x$

$= 2 - \sin 2x - \cos 2x$

(2)

$y = 2 - (\sin 2x + \cos 2x)$ をさらに変形する。

$\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})$ と変形できる。

したがって、$y = 2 - \sqrt{2} \sin(2x + \frac{\pi}{4})$ となる。

$0 \le x \le \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$ である。

$\sin(2x + \frac{\pi}{4})$ の範囲は $-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ である。

$\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = 1$ のとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, よって $2x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{8}$

このとき、$y = 2 - \sqrt{2}(1) = 2 - \sqrt{2}$. これが最小値。

$\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$ のとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$, よって $2x = \frac{5\pi}{4}$, $x = \frac{5\pi}{8}$

このとき、$y = 2 - \sqrt{2}(-1) = 2 + \sqrt{2}$. これが最大値。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2 - \sin 2x - \cos 2x$

(2) 最大値 $2 + \sqrt{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$ のとき), 最小値 $2 - \sqrt{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$ のとき)