問題は以下の3つです。 [4] 関数 $\frac{2}{x+2}$ のマクローリン多項式による2次近似を求める。 [5] 関数 $\log(1+x)$ のマクローリン多項式による2次近似を用いて、$\log(1.1)$ の近似値を求める。 [6] Taylorの定理を使うことで、極限値 $\lim_{x \to 0} \frac{3(e^x - e^{-x} - 2x)}{x^3}$ を求める。

以下に、画像の問題の解き方を記述します。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

[4] 関数 $\frac{2}{x+2}$ のマクローリン多項式による2次近似を求める。

[5] 関数 $\log(1+x)$ のマクローリン多項式による2次近似を用いて、$\log(1.1)$ の近似値を求める。

[6] Taylorの定理を使うことで、極限値 $\lim_{x \to 0} \frac{3(e^x - e^{-x} - 2x)}{x^3}$ を求める。

2. 解き方の手順

[4] $\frac{2}{x+2}$ のマクローリン展開（テイラー展開の中心が $x=0$ の場合）を求めます。

まず、$f(x) = \frac{2}{x+2}$ とします。

$f(0) = \frac{2}{0+2} = 1$

$f'(x) = -\frac{2}{(x+2)^2}$

$f'(0) = -\frac{2}{(0+2)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

$f''(x) = \frac{4}{(x+2)^3}$

$f''(0) = \frac{4}{(0+2)^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

マクローリン展開は、$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

2次近似なので、2次の項までを考えます。

$f(x) \approx 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1/2}{2}x^2 = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x^2$

[5] $\log(1+x)$ のマクローリン展開を求めます。

$f(x) = \log(1+x)$ とします。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

マクローリン展開は、$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

2次近似なので、2次の項までを考えます。

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 = x - \frac{1}{2}x^2$

$\log(1.1) = \log(1 + 0.1)$ なので、$x = 0.1$ を代入します。

$\log(1.1) \approx 0.1 - \frac{1}{2}(0.1)^2 = 0.1 - \frac{1}{2}(0.01) = 0.1 - 0.005 = 0.095$

[6] $\lim_{x \to 0} \frac{3(e^x - e^{-x} - 2x)}{x^3}$ を求めます。

$e^x$ と $e^{-x}$ のテイラー展開を考えます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \dots) = 2x + 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + \dots$

$e^x - e^{-x} - 2x = 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + \dots = \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60} + \dots$

$\frac{3(e^x - e^{-x} - 2x)}{x^3} = \frac{3(\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{60} + \dots)}{x^3} = 1 + \frac{x^2}{20} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{3(e^x - e^{-x} - 2x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{x^2}{20} + \dots) = 1$

3. 最終的な答え

[4] $1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x^2$

[5] $0.095$

[6] $1$