以下の3つの関数について、マクローリン展開を$x^4$の項まで求めます。 (1) $y = \cosh ax$ (2) $y = \log \frac{1+x}{1-x}$ (3) $y = \log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、マクローリン展開を$x^4$の項まで求めます。

(1) $y = \cosh ax$

(2) $y = \log \frac{1+x}{1-x}$

(3) $y = \log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cosh ax$ のマクローリン展開

$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

したがって、$\cosh ax = 1 + \frac{(ax)^2}{2!} + \frac{(ax)^4}{4!} + \dots$

$\cosh ax = 1 + \frac{a^2 x^2}{2} + \frac{a^4 x^4}{24} + \dots$

(2) $y = \log \frac{1+x}{1-x}$ のマクローリン展開

$\log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots$

したがって、

$\log \frac{1+x}{1-x} = (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots)$

$\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2x^3}{3} + \dots$

$\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \dots$

(3) $y = \log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ のマクローリン展開

$y = \log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}$

(2)の結果より、

$y = \frac{1}{2} (2x + \frac{2}{3} x^3 + \dots)$

$y = x + \frac{1}{3} x^3 + \dots$

3. 最終的な答え

(1) $\cosh ax = 1 + \frac{a^2}{2}x^2 + \frac{a^4}{24}x^4 + O(x^6)$

(2) $\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2}{3}x^3 + O(x^5)$

(3) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$