問題1から問題5までの各問題の(1)について、与えられた関数を微分せよ。

## 問題の回答

問題文に複数の問題が含まれているため、ここでは問題1から問題5までの全ての問題の(1)のみを解くことにします。

1. 問題の内容

問題1から問題5までの各問題の(1)について、与えられた関数を微分せよ。

2. 解き方の手順

* **問題1 (1)**： $y_1 = \frac{d}{dx}(3x+5)^8$

合成関数の微分公式を用います。$u = 3x+5$ と置くと、$y_1 = \frac{d}{dx}u^8 = \frac{d}{du}u^8 \cdot \frac{du}{dx} = 8u^7 \cdot 3 = 24(3x+5)^7$

* **問題2 (1)**： $y_1 = \frac{d}{dx}(xe^{-x})$

積の微分公式を用います。$(uv)' = u'v + uv'$ より、

$y_1 = \frac{d}{dx}(x)e^{-x} + x\frac{d}{dx}(e^{-x}) = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$

* **問題3 (1)**： $y_1 = \frac{d}{dx}(x \log x)$

積の微分公式を用います。

$y_1 = \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

* **問題4 (1)**： $y_1 = \frac{d}{dx}(e^x \sin x)$

積の微分公式を用います。

$y_1 = \frac{d}{dx}(e^x) \sin x + e^x \frac{d}{dx}(\sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$

* **問題5 (1)**： $y_1 = \frac{d}{dx}(\frac{x+2}{x+1})$

商の微分公式を用います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ より、

$y_1 = \frac{\frac{d}{dx}(x+2)(x+1) - (x+2)\frac{d}{dx}(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x+2) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x-2}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

* 問題1 (1): $y_1 = 24(3x+5)^7$

* 問題2 (1): $y_1 = e^{-x}(1-x)$

* 問題3 (1): $y_1 = \log x + 1$

* 問題4 (1): $y_1 = e^x(\sin x + \cos x)$

* 問題5 (1): $y_1 = \frac{-1}{(x+1)^2}$