$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。 (13) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ (14) $\cos x < \frac{1}{2}$ (15) $\tan x \ge 1$ (16) $4\sin^2 x \le 3$ (17) $3(1+\sin x) < 2\cos^2 x$ (18) $2\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 1 \ge 0$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で、以下の三角関数の方程式と不等式を解く問題です。

(13) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(14) $\cos x < \frac{1}{2}$

(15) $\tan x \ge 1$

(16) $4\sin^2 x \le 3$

(17) $3(1+\sin x) < 2\cos^2 x$

(18) $2\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 1 \ge 0$

2. 解き方の手順

(13) $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

単位円上で $y$ 座標が $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $x$ を探します。

$x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(14) $\cos x < \frac{1}{2}$

単位円上で $x$ 座標が $\frac{1}{2}$ より小さくなる $x$ を探します。

$\cos x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ なので、

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

(15) $\tan x \ge 1$

$\tan x = 1$ となるのは $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ なので、

$\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{5\pi}{4} \le x < \frac{3\pi}{2}$

(16) $4\sin^2 x \le 3$

$\sin^2 x \le \frac{3}{4}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2} \le \sin x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} \le x < 2\pi$

(17) $3(1+\sin x) < 2\cos^2 x$

$3(1+\sin x) < 2(1-\sin^2 x)$

$3+3\sin x < 2 - 2\sin^2 x$

$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 < 0$

$(2\sin x + 1)(\sin x + 1) < 0$

$-1 < \sin x < -\frac{1}{2}$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$

(18) $2\sin(x - \frac{\pi}{3}) + 1 \ge 0$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) \ge -\frac{1}{2}$

$x' = x - \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\sin x' \ge -\frac{1}{2}$

$\sin x' = -\frac{1}{2}$ となるのは $x' = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} \le x' \le \frac{7\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi$

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

もしくは

$\frac{11\pi}{6} \le x' < 2\pi$

$\frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \le x < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{13\pi}{6} \le x$

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{7\pi}{6} , \frac{11\pi}{6} \le x < 2\pi$

$x' \in [0,2\pi]$ において　$\sin(x') \ge -\frac{1}{2}$ は $\frac{7\pi}{6} \le x' \le \frac{11\pi}{6}$ではない場所

したがって $0 \le x' \le \frac{7\pi}{6}$ and $\frac{11\pi}{6} \le x' < 2\pi$

so $\frac{\pi}{3} \le x \le \frac{7\pi}{6}$ and $\frac{11\pi}{6} \le x < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{3\pi}{2}$

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{7\pi}{6}$ or $\frac{11\pi}{6} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(13) $x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(14) $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$

(15) $\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4} \le x < \frac{3\pi}{2}$

(16) $0 \le x \le \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \le x < 2\pi$

(17) $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6}$

(18) $\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \le x < 2\pi$