与えられた積分 $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}-1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}-1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。$u = \sqrt[4]{x}$ と置くと、$x = u^4$ となり、$dx = 4u^3 du$ となります。また、$\sqrt{x} = \sqrt{u^4} = u^2$ です。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}-1} dx = \int \frac{u}{u^2-1} (4u^3) du = 4 \int \frac{u^4}{u^2-1} du$

次に、被積分関数を部分分数分解するために、分子 $u^4$ を分母 $u^2-1$ で割ります。

$u^4 = (u^2-1)(u^2+1) + 1$ なので、

$\frac{u^4}{u^2-1} = u^2+1 + \frac{1}{u^2-1}$

したがって、積分は次のようになります。

$4 \int \frac{u^4}{u^2-1} du = 4 \int (u^2+1 + \frac{1}{u^2-1}) du$

さらに、$\frac{1}{u^2-1}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{(u-1)(u+1)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u+1}$

$1 = A(u+1) + B(u-1)$

$u=1$ のとき $1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$

$u=-1$ のとき $1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1})$

積分は次のようになります。

$4 \int (u^2+1 + \frac{1}{2} (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1})) du = 4 (\int u^2 du + \int 1 du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u-1} du - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u+1} du)$

$= 4 (\frac{u^3}{3} + u + \frac{1}{2} \ln|u-1| - \frac{1}{2} \ln|u+1|) + C$

$= \frac{4}{3} u^3 + 4u + 2 \ln|u-1| - 2 \ln|u+1| + C$

$= \frac{4}{3} u^3 + 4u + 2 \ln|\frac{u-1}{u+1}| + C$

ここで、$u = \sqrt[4]{x}$ を代入します。

$\frac{4}{3} (\sqrt[4]{x})^3 + 4 \sqrt[4]{x} + 2 \ln|\frac{\sqrt[4]{x}-1}{\sqrt[4]{x}+1}| + C$

$= \frac{4}{3} x^{3/4} + 4 x^{1/4} + 2 \ln|\frac{x^{1/4}-1}{x^{1/4}+1}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}-1} dx = \frac{4}{3} x^{3/4} + 4 x^{1/4} + 2 \ln|\frac{x^{1/4}-1}{x^{1/4}+1}| + C$