(1) 関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ に、マクローリンの定理（$n=4$）を適用する。また、$a=1, b=x$として、テイラーの定理（$n=4$）を適用する。 (2) 関数 $f(x) = \log(1+x)$ に、マクローリンの定理を $n=4$ で適用する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ に、マクローリンの定理（$n=4$）を適用する。また、$a=1, b=x$として、テイラーの定理（$n=4$）を適用する。

(2) 関数 $f(x) = \log(1+x)$ に、マクローリンの定理を $n=4$ で適用する。

2. 解き方の手順

(1)

(i) マクローリンの定理

マクローリンの定理は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開するテイラー展開であり、$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots$ で与えられます。今回は $n=4$ なので、4次の項まで求めます。

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ より、

$f(0) = -1$

$f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$

$f'(0) = 3$

$f''(x) = 6x - 4$

$f''(0) = -4$

$f'''(x) = 6$

$f'''(0) = 6$

$f^{(4)}(x) = 0$

$f^{(4)}(0) = 0$

したがって、マクローリンの定理より、

$f(x) = -1 + 3x + \frac{-4}{2}x^2 + \frac{6}{6}x^3 + \frac{0}{24}x^4 = -1 + 3x - 2x^2 + x^3$

(ii) テイラーの定理

テイラーの定理は、関数 $f(x)$ を $x=a$ の周りで展開するもので、$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \frac{f^{(4)}(a)}{4!}(x-a)^4 + \cdots$ で与えられます。今回は、$a=1$, $n=4$ なので、4次の項まで求めます。

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1$ より、

$f(1) = 1 - 2 + 3 - 1 = 1$

$f'(x) = 3x^2 - 4x + 3$

$f'(1) = 3 - 4 + 3 = 2$

$f''(x) = 6x - 4$

$f''(1) = 6 - 4 = 2$

$f'''(x) = 6$

$f'''(1) = 6$

$f^{(4)}(x) = 0$

$f^{(4)}(1) = 0$

したがって、テイラーの定理より、

$f(x) = 1 + 2(x-1) + \frac{2}{2}(x-1)^2 + \frac{6}{6}(x-1)^3 + \frac{0}{24}(x-1)^4 = 1 + 2(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3$

(2)

$f(x) = \log(1+x)$ にマクローリンの定理を $n=4$ で適用します。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f'(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

$f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$

$f^{(4)}(0) = -6$

したがって、マクローリンの定理より、

$f(x) = 0 + 1x + \frac{-1}{2}x^2 + \frac{2}{6}x^3 + \frac{-6}{24}x^4 = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4$

3. 最終的な答え

(1) (i) $f(x) = -1 + 3x - 2x^2 + x^3$

(ii) $f(x) = 1 + 2(x-1) + (x-1)^2 + (x-1)^3$

(2) $f(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4$