逆関数の微分法を用いて、 $(\tan^{-1} \frac{x}{a})' = \frac{a}{a^2 + x^2}$ を導出せよ。

1. 問題の内容

逆関数の微分法を用いて、 $(\tan^{-1} \frac{x}{a})' = \frac{a}{a^2 + x^2}$ を導出せよ。

2. 解き方の手順

$y = \tan^{-1} \frac{x}{a}$ とおく。このとき、$\tan y = \frac{x}{a}$ である。

$x$ について両辺を微分すると、

$\frac{d}{dx} (\tan y) = \frac{d}{dx} (\frac{x}{a})$

$\frac{d}{dy} (\tan y) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{a}$

$(1 + \tan^2 y) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{a}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a(1 + \tan^2 y)}$

ここで、$\tan y = \frac{x}{a}$ であるから、$\tan^2 y = \frac{x^2}{a^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a(1 + \frac{x^2}{a^2})} = \frac{1}{a(\frac{a^2 + x^2}{a^2})} = \frac{a}{a^2 + x^2}$

したがって、

$\frac{d}{dx} (\tan^{-1} \frac{x}{a}) = \frac{a}{a^2 + x^2}$

3. 最終的な答え

$(\tan^{-1} \frac{x}{a})' = \frac{a}{a^2 + x^2}$