複素数 $α = 1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表し、複素数平面上で原点を中心とする半径1の円周上を動く点 $z$ について、$|z - α|$ の最大値や $z - 2$ の偏角の最大値を求めます。また、そのときの $z_1$ に対して $\frac{z_1}{α}$ を計算します。

1. 問題の内容

複素数 $α = 1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表し、複素数平面上で原点を中心とする半径1の円周上を動く点 $z$ について、$|z - α|$ の最大値や $z - 2$ の偏角の最大値を求めます。また、そのときの $z_1$ に対して $\frac{z_1}{α}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $α = 1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表します。

$|α| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$α = 2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2(\cos{\frac{π}{3}} + i\sin{\frac{π}{3}})$

したがって、キ=2, ク=3

$z$ が原点を中心とする半径1の円周上を動くので、$|z| = 1$ が成り立ちます。選択肢を見ると、②がこれに該当するので、ケ=②

$|z - α|$ の最大値を求めます。

$|z - α| \le |z| + |α| = 1 + 2 = 3$

$|z - α|$ の最大値は3。よって、コ=3

(2) $z$ は原点を中心とする半径1の円周上を動く点なので、$z = \cos{θ} + i\sin{θ}$ と表せます。

$z - 2 = (\cos{θ} - 2) + i\sin{θ}$ の偏角を $\phi$ とすると、

$\tan{\phi} = \frac{\sin{θ}}{\cos{θ} - 2}$

$\phi$ が最大となるのは、$\cos{θ} - 2 < 0$ より、$|\frac{\sin{θ}}{\cos{θ} - 2}|$ が最大になる時なので、$\frac{\sin{θ}}{\cos{θ} - 2}$ が最大になる時です。

$\frac{d}{dθ}(\frac{\sin{θ}}{\cos{θ} - 2}) = \frac{\cos{θ}(\cos{θ} - 2) - \sin{θ}(-\sin{θ})}{(\cos{θ} - 2)^2} = \frac{\cos^2{θ} - 2\cos{θ} + \sin^2{θ}}{(\cos{θ} - 2)^2} = \frac{1 - 2\cos{θ}}{(\cos{θ} - 2)^2}$

$\frac{d}{dθ}(\frac{\sin{θ}}{\cos{θ} - 2}) = 0$ となるのは $1 - 2\cos{θ} = 0$ より $\cos{θ} = \frac{1}{2}$ のときです。

したがって、$θ = \frac{π}{3}$ または $θ = \frac{5π}{3}$ のときです。

$θ = \frac{π}{3}$ のとき、$\tan{\phi} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ となり、$\phi$ は第4象限の角になります。

$θ = \frac{5π}{3}$ のとき、$\tan{\phi} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} - 2} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ となり、$\phi$ は第1象限の角になります。

$θ = \frac{5π}{3}$ のとき、$z = \cos{\frac{5π}{3}} + i\sin{\frac{5π}{3}} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z - 2 = \frac{1}{2} - 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$\tan{\phi} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\phi = \arctan{\frac{\sqrt{3}}{3}} + π = \frac{π}{6} + π = \frac{7π}{6}$

$θ$の値から$z-2$の偏角を求めます。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$のとき、$z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

$z - 2 = \frac{1}{2} - 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} i = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$

$\arg(z-2) = \arctan{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{3}{2}}} = \arctan{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{5π}{6}$

よって、サ=$\frac{5π}{6}$

このとき、$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$α = 1 + \sqrt{3}i = 2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$

$\frac{z_1}{α} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}{1 + \sqrt{3}i} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i}{2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)} = \frac{1}{2}$

$\frac{z_1}{α} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 0i$

シス=1, セ=0, ソ=2

3. 最終的な答え

キ=2, ク=3, ケ=②, コ=3, サ=⑤($\frac{5π}{6}$), シス=1, セ=0, ソ=2