関数 $f(x)=|(x-\alpha)(x-\beta)|$ が与えられており、$0 < \alpha < \beta < 4$ を満たす。 (1) $f(0)=f(4)$ のとき、$\alpha + \beta$ の値を求める。 (2) $f(x)$ の最大値を $M$ とする、$f(x) = M$ となる $x$ がちょうど3つあるとき、$\alpha, \beta$ と $M$ の値を求める。 (3) (2) で求めた $\alpha, \beta$ について、$f(x)-mx=0$ が異なる3つの解をもつような実数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)=|(x-\alpha)(x-\beta)|$ が与えられており、$0 < \alpha < \beta < 4$ を満たす。

(1) $f(0)=f(4)$ のとき、$\alpha + \beta$ の値を求める。

(2) $f(x)$ の最大値を $M$ とする、$f(x) = M$ となる $x$ がちょうど3つあるとき、$\alpha, \beta$ と $M$ の値を求める。

(3) (2) で求めた $\alpha, \beta$ について、$f(x)-mx=0$ が異なる3つの解をもつような実数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(0)=f(4)$ より

$f(0) = |(-\alpha)(-\beta)| = |\alpha \beta|$

$f(4) = |(4-\alpha)(4-\beta)| = |16-4(\alpha+\beta)+\alpha\beta|$

したがって、$|\alpha \beta| = |16-4(\alpha+\beta)+\alpha\beta|$ が成り立つ。

$\alpha \beta = 16-4(\alpha+\beta)+\alpha\beta$ の場合、

$0 = 16 - 4(\alpha+\beta)$ より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = -16 + 4(\alpha+\beta)-\alpha\beta$ の場合、

$2\alpha \beta = 4(\alpha+\beta)-16$

$\alpha \beta = 2(\alpha+\beta)-8$

$0 < \alpha < \beta < 4$ より $0 < \alpha + \beta < 8$.

$f(x) = |(x-\alpha)(x-\beta)| = |x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta|$

$\alpha + \beta = 4$ の場合、頂点の $x$ 座標は $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、これは $0 < \alpha < \beta < 4$ を満たす。

$\alpha + \beta > 4$ の場合、$2(\alpha+\beta)-8 > 0$ であり、$\alpha \beta > 0$ を満たす。

$\alpha + \beta < 4$ の場合、$2(\alpha+\beta)-8 < 0$ であり、$\alpha \beta < 0$ となるが、$0 < \alpha < \beta$ なので $\alpha \beta > 0$ であるため矛盾。

したがって、$\alpha+\beta = 4$

(2) $f(x) = |(x-\alpha)(x-\beta)|$ の最大値が $M$ となる $x$ がちょうど3つあるとき、

$0 \le x \le 4$ の範囲で、$x=0, x=4$ で最大値 $f(0) = f(4) = M$ をとる必要がある。

(1)より、$\alpha + \beta = 4$ なので、$\beta = 4 - \alpha$

$f(x) = |(x-\alpha)(x-4+\alpha)| = |x^2 - 4x + \alpha(4-\alpha)| = |x^2 - 4x + 4\alpha-\alpha^2|$

$f(x)$ の最小値は、$\alpha < x < \beta$ の範囲で0になる。

$f(x)$ の最大値は、$x=0, x=4$ で $|4\alpha-\alpha^2|$ となる。

頂点の $x$ 座標は $x=2$ なので、$f(2) = |4 - 8 + 4\alpha - \alpha^2| = |-4 + 4\alpha - \alpha^2| = |-(\alpha-2)^2| = (\alpha-2)^2$

$0 < \alpha < \beta < 4$ かつ $\alpha + \beta = 4$ なので、$0 < \alpha < 2$ であり、$2 < \beta < 4$ となる。

したがって、$f(2) = (\alpha-2)^2 > 0$.

$f(x) = M$ となる $x$ が3つであるとき、頂点の $x$ 座標である $x=2$ における $f(2)$ が、$M$ と等しくなる必要があり、$f(x) = M$ は、$f(0) = f(4) = M$ となる必要がある。

$(\alpha - 2)^2 = |4\alpha - \alpha^2|$ であり、

$4\alpha - \alpha^2 < 0$ になる必要があるため、$f(2) = (\alpha - 2)^2 = - (4\alpha - \alpha^2)$

$(\alpha - 2)^2 = \alpha^2 - 4\alpha + 4 = \alpha^2 - 4\alpha + 4$

$- (4\alpha - \alpha^2) = \alpha^2 - 4\alpha$

したがって、$f(2) < 0$ にはなり得ないので、$M = f(0) = f(4)$ ではない。

問題文をよく読むと、f(x)=Mとなるxがちょうど3つあるときと書いてある。

放物線 $y=(x-\alpha)(x-\beta)$ の頂点のy座標の絶対値と、$f(0)=f(4)$の値が等しくなる場合を考える。

$(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha)(\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta) = (\frac{\beta-\alpha}{2})(\frac{\alpha-\beta}{2}) = -(\frac{\beta-\alpha}{2})^2$

したがって、$M = (\frac{\beta-\alpha}{2})^2$ であり、$M = f(0) = f(4) = \alpha \beta$ である。

$(\frac{\beta-\alpha}{2})^2 = \alpha \beta$

$(\beta-\alpha)^2 = 4 \alpha \beta$

$\beta^2 - 2\alpha\beta + \alpha^2 = 4 \alpha \beta$

$\beta^2 - 6 \alpha \beta + \alpha^2 = 0$

$\beta = 4-\alpha$ を代入すると、

$(4-\alpha)^2 - 6 \alpha (4-\alpha) + \alpha^2 = 0$

$16 - 8\alpha + \alpha^2 - 24\alpha + 6\alpha^2 + \alpha^2 = 0$

$8\alpha^2 - 32\alpha + 16 = 0$

$\alpha^2 - 4\alpha + 2 = 0$

$\alpha = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

$0 < \alpha < 2 < \beta < 4$ なので $\alpha = 2 - \sqrt{2}$, $\beta = 2 + \sqrt{2}$

$M = \alpha \beta = (2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = 4 - 2 = 2$

(3) $f(x) - mx = 0$

$|(x - (2-\sqrt{2}))(x - (2+\sqrt{2}))| - mx = 0$

$|(x^2 - 4x + 2)| = mx$

$f(x) = mx$ が異なる3つの解をもつとき、

$f(x) = |x^2-4x+2|$ のグラフと $y=mx$ が3つの交点を持つ場合を考える。

$x=0$ は常に交点なので、$x^2-4x+2=0$ は $x = 2 \pm \sqrt{2}$ で交点を持つ。

$f(x)$ のグラフは $x=0, x=4$ で $f(x)=2$ となる。

$y=mx$が、$f(0) = 0, f(4)=2$の間を通るとき、傾き $m$ は、$0 < m < \frac{1}{2}$

$x^2 - 4x + 2 = mx$ が重解を持つとき

$x^2 - (4+m)x + 2 = 0$

$D = (4+m)^2 - 8 = 0$

$16 + 8m + m^2 - 8 = 0$

$m^2 + 8m + 8 = 0$

$m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$0 < m < -4 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha+\beta = 4$

(2) $\alpha = 2-\sqrt{2}, \beta = 2+\sqrt{2}, M = 2$

(3) $0 < m < -4+2\sqrt{2}$