$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とします。 (1) $a$、$b$ の値を求めよ。 (2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある5番の問題を解きます。

1. 問題の内容

$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とします。

(1) $a$、$b$ の値を求めよ。

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\sqrt{12} - \sqrt{108}$ を簡単にします。

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$

よって、$\sqrt{12} - \sqrt{108} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ は約 $1.732$ なので、 $-4\sqrt{3}$ は約 $-4 \times 1.732 = -6.928$ となります。

したがって、整数部分 $a = -7$ です。

小数部分 $b$ は、元の数から整数部分を引いたものなので、

$b = -4\sqrt{3} - (-7) = 7 - 4\sqrt{3}$ です。

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3}$ を求めます。

$b = 7 - 4\sqrt{3}$ より、

$\frac{1}{b} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 16 \times 3} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$

ここで、$b + \frac{1}{b} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$

公式 $b^3 + \frac{1}{b^3} = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b})$ を利用します。

$b^3 + \frac{1}{b^3} = 14^3 - 3 \times 14 = 2744 - 42 = 2702$

3. 最終的な答え

(1) $a = -7$ , $b = 7 - 4\sqrt{3}$

(2) $b^3 + \frac{1}{b^3} = 2702$