サイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める問題です。ルールAに従い、k回目の得点を求めます。 (i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点 (ii) (i)以外のときは、k回目に出た目の数を得点とします。 1回目の得点が7点となる確率、4点以上となる確率、1回目の得点の期待値、2回目の得点が7点となる確率、2回目の得点が1点となる確率、3回目の得点が1点となる確率、3回目の得点が1点であったときに2回目の得点が7点である条件付き確率をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

サイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める問題です。ルールAに従い、k回目の得点を求めます。

(i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点

(ii) (i)以外のときは、k回目に出た目の数を得点とします。

1回目の得点が7点となる確率、4点以上となる確率、1回目の得点の期待値、2回目の得点が7点となる確率、2回目の得点が1点となる確率、3回目の得点が1点となる確率、3回目の得点が1点であったときに2回目の得点が7点である条件付き確率をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) 1回目の得点が7点である確率

1回目の得点が7点になるのは、1回目に1の目が出たときなので、確率は $\frac{1}{6}$ です。

(2) 1回目の得点が4点以上である確率

1回目の得点が4点以上の場合は、4, 5, 6の目が出たときなので、確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。

(3) 1回目の得点の期待値

各目の出る確率は $\frac{1}{6}$ なので、

$E = \frac{1}{6} \times 7 + \frac{1}{6} \times 2 + \frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{6} \times 4 + \frac{1}{6} \times 5 + \frac{1}{6} \times 6 = \frac{7+2+3+4+5+6}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

(4) 2回目の得点が7点である確率

2回目の得点が7点になるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に初めて1の目が出たときです。

1回目に1以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ であり、2回目に1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ なので、$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$です。

(5) 2回目の得点が1点である確率

2回目の得点が1点であるには、2回目のサイコロの目が1で、かつ1回目に1の目が出ていない必要があります。

1回目に1の目が出ない確率は $\frac{5}{6}$。2回目に1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ 。なので求める確率は $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$

(6) 3回目の得点が1点である確率

3回目の得点が1点であるためには、1,2回目に1の目が出ておらず、3回目に1の目が出る必要があります。

1,2回目に1の目が出ない確率は、$(\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$

3回目に1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$

したがって求める確率は、$\frac{25}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$

(7) 3回目の得点が1点であったとき、2回目の得点が7点である条件付き確率

事象A: 3回目の得点が1点

事象B: 2回目の得点が7点

求めるのは $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

$P(A)$: 3回目の得点が1点である確率 (上記(6)より) $\frac{25}{216}$

$P(A \cap B)$: 2回目の得点が7点で、3回目の得点が1点である確率

2回目の得点が7点であるためには、1回目に1以外の目が出て、2回目に1の目が出る必要があります。

この確率は $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$

3回目の得点が1点であるためには、1,2回目に1以外の目が出て、3回目に1の目が出る必要があります。

2回目の得点が7点だった場合、1回目は1以外の目が出て2回目に1の目が出ています。つまり、3回目が初めての1の目であれば、3回目の得点は1点になります。

したがって、$P(A \cap B)$ は、1回目に1以外の目が出て、2回目に1の目が出て、3回目に1の目が出た場合を除く確率です。

1回目に1以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$、2回目に1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、3回目に1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ です。

そのため、$P(A \cap B) = (\frac{5}{6})(\frac{1}{6})(\frac{5}{6}) = \frac{25}{216}$

$P(B|A) = \frac{\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}}{(\frac{5}{6})^2 \times \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{216}}{\frac{25}{216}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 6

ウ: 1

エ: 2

オ: 9

カ: 2

キ: 5

クケ: 36

コ: 5

サシ: 36

スセ: 25

ソタチ: 216

ツ: 1

テト: 5