$a$ を定数とする。放物線 $y = x^2 - 2(a+3)x + 4a^2 + 12a + 8$ について、以下の問いに答える。 (1) 頂点の座標を $a$ で表す。 (2) $a$ がすべての実数値をとり変化するとき、頂点の軌跡を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。放物線 $y = x^2 - 2(a+3)x + 4a^2 + 12a + 8$ について、以下の問いに答える。

(1) 頂点の座標を $a$ で表す。

(2) $a$ がすべての実数値をとり変化するとき、頂点の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

まず、与えられた放物線の方程式を平方完成する。

$y = x^2 - 2(a+3)x + 4a^2 + 12a + 8$

$y = \{x - (a+3)\}^2 - (a+3)^2 + 4a^2 + 12a + 8$

$y = \{x - (a+3)\}^2 - (a^2 + 6a + 9) + 4a^2 + 12a + 8$

$y = \{x - (a+3)\}^2 + 3a^2 + 6a - 1$

したがって、頂点の座標は $(a+3, 3a^2 + 6a - 1)$ である。

(2) 頂点の軌跡を求める。

頂点の座標を $(x, y)$ とすると、

$x = a+3$ より、$a = x-3$ である。

$y = 3a^2 + 6a - 1$ に $a = x-3$ を代入すると、

$y = 3(x-3)^2 + 6(x-3) - 1$

$y = 3(x^2 - 6x + 9) + 6x - 18 - 1$

$y = 3x^2 - 18x + 27 + 6x - 19$

$y = 3x^2 - 12x + 8$

$y = 3(x^2 - 4x) + 8$

$y = 3(x^2 - 4x + 4) - 12 + 8$

$y = 3(x-2)^2 - 4$

したがって、頂点の軌跡は放物線 $y = 3(x-2)^2 - 4$ である。

$a$ がすべての実数値をとり変化するので、$x = a+3$ もすべての実数値をとり変化する。

したがって、軌跡は放物線全体である。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(a+3, 3a^2 + 6a - 1)$

(2) 頂点の軌跡: $y = 3(x-2)^2 - 4$