ある工場で同じ製品をA, Bの2つの機械で作っており、Aの機械で作られた製品が不良品である確率は2%、Bの機械で作られた製品が不良品である確率は5%です。Aの機械とBの機械で作られる製品の割合は2:1です。 (1) 製品の中から1個取り出したとき、その製品が不良品である確率を求めます。 (2) 取り出した製品が不良品であったとき、その製品がAの機械で作られたものである確率を求めます。

1. 問題の内容

ある工場で同じ製品をA, Bの2つの機械で作っており、Aの機械で作られた製品が不良品である確率は2%、Bの機械で作られた製品が不良品である確率は5%です。Aの機械とBの機械で作られる製品の割合は2:1です。

(1) 製品の中から1個取り出したとき、その製品が不良品である確率を求めます。

(2) 取り出した製品が不良品であったとき、その製品がAの機械で作られたものである確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 全確率の定理を用います。

Aの機械で作られる確率を $P(A)$、Bの機械で作られる確率を $P(B)$、不良品である確率を $P(不良)$ とします。

問題文より、

$P(A) = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

$P(B) = \frac{1}{2+1} = \frac{1}{3}$

Aの機械で作られた製品が不良品である確率を $P(不良|A)$、Bの機械で作られた製品が不良品である確率を $P(不良|B)$ とすると、

$P(不良|A) = 0.02$

$P(不良|B) = 0.05$

したがって、不良品である確率は

$P(不良) = P(不良|A)P(A) + P(不良|B)P(B)$

$= 0.02 \times \frac{2}{3} + 0.05 \times \frac{1}{3}$

$= \frac{0.04}{3} + \frac{0.05}{3} = \frac{0.09}{3} = 0.03$

(2) ベイズの定理を用います。

不良品であるとき、それがAの機械の製品である確率は、$P(A|不良)$ です。

ベイズの定理より、

$P(A|不良) = \frac{P(不良|A)P(A)}{P(不良)}$

$= \frac{0.02 \times \frac{2}{3}}{0.03} = \frac{\frac{0.04}{3}}{0.03} = \frac{0.04}{3 \times 0.03} = \frac{0.04}{0.09} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 不良品である確率：0.03

(2) 不良品であるとき、それがAの機械の製品である確率：4/9