関数 $y = \frac{6 - 3^x}{4^x - 8}$ のグラフの漸近線をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{6 - 3^x}{4^x - 8}$ のグラフの漸近線をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、垂直漸近線を求めます。垂直漸近線は、分母が0になる $x$ の値に対応します。

$4^x - 8 = 0$ を解くと、

$4^x = 8$

$(2^2)^x = 2^3$

$2^{2x} = 2^3$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、分子は $6 - 3^{\frac{3}{2}} = 6 - 3\sqrt{3} \neq 0$ なので、$x = \frac{3}{2}$ は垂直漸近線です。

次に、水平漸近線を求めます。$x \to \infty$ および $x \to -\infty$ のときの $y$ の極限を計算します。

$x \to \infty$ のとき、

$y = \frac{6 - 3^x}{4^x - 8}$ の分子は $-3^x$ に支配され、分母は $4^x$ に支配されるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 - 3^x}{4^x - 8} = \lim_{x \to \infty} \frac{-3^x}{4^x} = \lim_{x \to \infty} -(\frac{3}{4})^x = 0$

したがって、$y = 0$ は水平漸近線です。

$x \to -\infty$ のとき、

$y = \frac{6 - 3^x}{4^x - 8}$ の分子は $6$ に近づき、分母は $-8$ に近づくので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{6 - 3^x}{4^x - 8} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

したがって、$y = -\frac{3}{4}$ は水平漸近線です。

3. 最終的な答え

漸近線は $x = \frac{3}{2}$, $y = 0$, $y = -\frac{3}{4}$ です。