4人で1回だけじゃんけんをする。 (1) 1人が勝つ確率を求めよ。 (2) あいこになる確率を求めよ。 (3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

## じゃんけんの問題

1. 問題の内容

4人で1回だけじゃんけんをする。

(1) 1人が勝つ確率を求めよ。

(2) あいこになる確率を求めよ。

(3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1人が勝つ確率

4人のうち1人が勝つパターンを考える。まず、誰が勝つかを決める。これは4通りある。

次に、勝つ手がグー、チョキ、パーのどれかを決める。これは3通りある。

勝つ手が決まれば、他の3人はその手に負ける手を出すしかない。例えば、勝つ手がグーなら、他の3人はチョキを出す。

したがって、1人が勝つ場合の数は $4 \times 3 = 12$ 通り。

4人それぞれが出す手の組み合わせは $3^4 = 81$ 通り。

したがって、1人が勝つ確率は $\frac{12}{81} = \frac{4}{27}$。

(2) あいこになる確率

あいこになる場合を考える。あいこになるのは、全員が同じ手を出す場合と、3種類の手がすべて出る場合である。

全員が同じ手を出す場合は3通り。

3種類の手がすべて出る場合を考える。

まず、誰がどの手を出すかを考える。4人の中から、グー、チョキ、パーを出す人をそれぞれ選ぶ。

手が3種類なので、誰かが2人になる必要がある。

2人になる手を選ぶ方法は3通り。

その手を選択する2人を選ぶ方法は ${}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

残りの2人は異なる手を出すので、その出し方は2通り。

よって、3種類の手がすべて出る場合は $3 \times 6 \times 2 = 36$ 通り。

したがって、あいこになる場合の数は $3 + 36 = 39$ 通り。

あいこになる確率は $\frac{39}{81} = \frac{13}{27}$。

(3) 勝つ人数の期待値

勝つ人数は0人、1人、2人、3人のいずれかである。

それぞれの確率を求めて期待値を計算する。

* 勝つ人数が0人の確率（あいこ）：$\frac{13}{27}$

* 勝つ人数が1人の確率：$\frac{4}{27}$

* 勝つ人数が2人の場合:

2人が勝つには、残りの2人が同じ手を出す必要がある。勝つ手の組み合わせは3通り。勝つ2人を選ぶ方法は${}_4C_2 = 6$通り。

したがって、2人が勝つ場合の数は $3 \times 6 = 18$通り。

確率は $\frac{18}{81} = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$

* 勝つ人数が3人の場合: 3人が勝つには、残りの1人が異なる手を出す必要がある。この場合、必ずあいこになるので、3人が勝つことはない。

したがって、勝つ人数が3人の確率は0。

勝つ人数の期待値は、

$0 \times \frac{13}{27} + 1 \times \frac{4}{27} + 2 \times \frac{6}{27} + 3 \times 0 = \frac{4}{27} + \frac{12}{27} = \frac{16}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 1人が勝つ確率：$\frac{4}{27}$

(2) あいこになる確率：$\frac{13}{27}$

(3) 勝つ人数の期待値：$\frac{16}{27}$