以下の数列の極限値を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 5n + 10}{2n^2 - 2n + 1}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n\pi)$ (4) $\lim_{n \to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})$ (5) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$ (6) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n$

はい、承知いたしました。問題文にある数列の極限値を求めます。

1. 問題の内容

以下の数列の極限値を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 5n + 10}{2n^2 - 2n + 1}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n\pi)$

(4) $\lim_{n \to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})$

(5) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$

(6) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

有理化します。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$ なので、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 5n + 10}{2n^2 - 2n + 1}$

分子と分母を$n^2$で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 5n + 10}{2n^2 - 2n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^2}}{2 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{n} \to 0$, $\frac{10}{n^2} \to 0$, $\frac{2}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{n} + \frac{10}{n^2}}{2 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n\pi)$

$\cos(n\pi)$ は $n$ が偶数のとき1, 奇数のとき-1なので、-1から1の間の値を振動します。

したがって、$-1 \le \cos(n\pi) \le 1$ です。

$\frac{-1}{n} \le \frac{1}{n} \cos(n\pi) \le \frac{1}{n}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{n} = 0$ かつ $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ なので、はさみうちの原理より

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cos(n\pi) = 0$

(4) $\lim_{n \to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})$

$x = \frac{\pi}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ です。

また、$n = \frac{\pi}{x}$ なので、

$\lim_{n \to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n}) = \lim_{x \to 0} \frac{\pi}{x} \sin(x) = \pi \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ なので、$\pi \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \pi$

(5) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-1}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-1}{n+1})^{n+1} (1 + \frac{-1}{n+1})^{-1}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-1}{n+1})^{n+1} = e^{-1}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-1}{n+1})^{-1} = 1$

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(6) $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n$

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n^2})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-1}{n^2})^n$

ここで、$x_n = (1 - \frac{1}{n^2})^n$ とおくと、

$\log x_n = n \log (1 - \frac{1}{n^2})$

$y = - \frac{1}{n^2}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $y \to 0$ なので、$\log(1 + y) \sim y$

$\log (1 - \frac{1}{n^2}) \sim - \frac{1}{n^2}$

$\log x_n = n \log (1 - \frac{1}{n^2}) \sim n (- \frac{1}{n^2}) = - \frac{1}{n} \to 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \log x_n = 0$

$\lim_{n \to \infty} x_n = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{1}{2}$

(3) 0

(4) $\pi$

(5) $\frac{1}{e}$

(6) 1