4人で1回だけじゃんけんをする。あいこになった場合も1回と数える。 (1) 1人が勝つ確率を求めよ。 (2) あいこになる確率を求めよ。 (3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

4人で1回だけじゃんけんをする。あいこになった場合も1回と数える。

(1) 1人が勝つ確率を求めよ。

(2) あいこになる確率を求めよ。

(3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1人が勝つ確率

まず、4人のじゃんけんの手の出し方の総数を求める。各人がグー、チョキ、パーの3通りの手を出すので、全部で $3^4 = 81$ 通りである。

特定の1人が勝つ場合を考える。特定の1人が勝つためには、他の3人がその人に負ける手を出す必要がある。例えば、特定の1人がグーで勝つ場合、他の3人はチョキを出す必要がある。同様に、特定の1人がチョキで勝つ場合は、他の3人はパーを出し、特定の1人がパーで勝つ場合は、他の3人はグーを出す。よって、特定の1人が勝つ場合は3通りである。

4人の中から勝つ1人を選ぶ方法は ${}_4C_1 = 4$ 通りある。従って、1人が勝つ場合は $4 \times 3 = 12$ 通りである。

したがって、1人が勝つ確率は $\frac{12}{81} = \frac{4}{27}$ である。

(2) あいこになる確率

あいこになる場合は、全員の手が同じか、3種類の手がすべて出る場合、2種類の手が出ていて、少なくとも2人が同じ手を出す場合がある。ここでは、あいこにならない場合を考えて、全体から引く方法で考える。

あいこにならない場合は、1人が勝つ場合（上記(1)で計算）と、2人が勝つ場合、3人が勝つ場合がある。

2人が勝つ場合：勝つ手を1つ選び(3通り)、勝つ2人を選ぶ(${}_4C_2=6$通り)。残りの2人はそれ以外の負ける手を出す必要がある(1通り)。よって$3 \times 6 = 18$通り。

3人が勝つ場合：勝つ手を1つ選び(3通り)、勝つ3人を選ぶ(${}_4C_3=4$通り)。残りの1人は負ける手を出す必要がある(1通り)。よって$3 \times 4=12$通り。

1人が勝つ場合は12通り（上記参照）。

したがって、あいこにならないのは、$12+18+12 = 42$通り。

あいこになるのは $81 - (12+18+12) = 81 - 42 = 39$通り。

あいこになる確率は $\frac{39}{81} = \frac{13}{27}$

(3) 勝つ人数の期待値

勝つ人数が1人の確率は$\frac{12}{81}$、2人の確率は$\frac{18}{81}$、3人の確率は$\frac{12}{81}$、あいこ(0人勝ち)の確率は$\frac{39}{81}$である。

勝つ人数の期待値は、$1 \times \frac{12}{81} + 2 \times \frac{18}{81} + 3 \times \frac{12}{81} + 0 \times \frac{39}{81} = \frac{12+36+36}{81} = \frac{84}{81} = \frac{28}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 1人が勝つ確率：$\frac{4}{27}$

(2) あいこになる確率：$\frac{13}{27}$

(3) 勝つ人数の期待値：$\frac{28}{27}$