関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + (1-2a)x + 4$ が極大値と極小値を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + (1-2a)x + 4$ が極大値と極小値を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極大値と極小値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる異なる2つの実数解を持つ必要があります。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 2ax + (1-2a)$

$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が正であることです。

$D = (-2a)^2 - 4(3)(1-2a) > 0$

$4a^2 - 12(1-2a) > 0$

$4a^2 - 12 + 24a > 0$

$a^2 + 6a - 3 > 0$

$a^2 + 6a - 3 = 0$ の解を求めます。

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2}$

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2}$

$a = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2}$

$a = -3 \pm 2\sqrt{3}$

したがって、$a^2 + 6a - 3 > 0$ の解は $a < -3 - 2\sqrt{3}$ または $a > -3 + 2\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

$a < -3 - 2\sqrt{3}$ または $a > -3 + 2\sqrt{3}$