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与えられた逆三角関数の等式が成り立つことを示す問題です。具体的には、以下の5つの等式を示す必要があります。 (1) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x$ (2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x$ (3) $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x$ (4) $\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ (5) $\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} (x > 0)$

解析学逆三角関数三角関数等式証明
2025/6/1

1. 問題の内容

与えられた逆三角関数の等式が成り立つことを示す問題です。具体的には、以下の5つの等式を示す必要があります。
(1) sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x
(2) cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x
(3) tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x
(4) sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
(5) tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2(x>0)\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} (x > 0)

2. 解き方の手順

(1) sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x を示す。
y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x とおくと、x=sin⁡yx = \sin yとなる。このとき、sin⁡(−y)=−sin⁡y=−x\sin (-y) = - \sin y = -xであるから、−y=sin⁡−1(−x)-y = \sin^{-1}(-x)。
したがって、sin⁡−1(−x)=−y=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -y = -\sin^{-1} x となる。
(2) cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x を示す。
y=cos⁡−1xy = \cos^{-1} x とおくと、x=cos⁡yx = \cos yとなる。このとき、cos⁡(π−y)=−cos⁡y=−x\cos(\pi - y) = -\cos y = -xであるから、π−y=cos⁡−1(−x)\pi - y = \cos^{-1}(-x)。
したがって、cos⁡−1(−x)=π−y=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - y = \pi - \cos^{-1} x となる。
(3) tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x を示す。
y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} x とおくと、x=tan⁡yx = \tan yとなる。このとき、tan⁡(−y)=−tan⁡y=−x\tan(-y) = -\tan y = -xであるから、−y=tan⁡−1(−x)-y = \tan^{-1}(-x)。
したがって、tan⁡−1(−x)=−y=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -y = -\tan^{-1} x となる。
(4) sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} を示す。
y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} x とおくと、x=sin⁡yx = \sin yとなる。このとき、cos⁡y=1−sin⁡2y=1−x2\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2} (ここで、−π2≤y≤π2-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}であるから、cos⁡y≥0\cos y \geq 0)。
したがって、tan⁡y=sin⁡ycos⁡y=x1−x2\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}。
よって、y=tan⁡−1x1−x2y = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}となり、sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}が示された。
(5) tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2(x>0)\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} (x > 0) を示す。
y=tan⁡−1xy = \tan^{-1} xとおくと、tan⁡y=x\tan y = x。ここでx>0x > 0なので、0<y<π20 < y < \frac{\pi}{2}である。
tan⁡(π2−y)=1tan⁡y=1x\tan(\frac{\pi}{2} - y) = \frac{1}{\tan y} = \frac{1}{x}なので、tan⁡−11x=π2−y=π2−tan⁡−1x\tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x。
したがって、tan⁡−1x+tan⁡−11x=tan⁡−1x+π2−tan⁡−1x=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \tan^{-1} x + \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}となる。

3. 最終的な答え

(1) sin⁡−1(−x)=−sin⁡−1x\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x
(2) cos⁡−1(−x)=π−cos⁡−1x\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x
(3) tan⁡−1(−x)=−tan⁡−1x\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x
(4) sin⁡−1x=tan⁡−1x1−x2\sin^{-1} x = \tan^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
(5) tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2(x>0)\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} (x > 0)

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