正三角形ABCの頂点Aに点Pがある。硬貨を投げて表が出れば時計回りに、裏が出れば反時計回りに隣の頂点に移動する。硬貨をn回投げたとき、点Pが頂点Aに戻る確率を$a_n$とする。 (1) $n \ge 2$に対し、$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表せ。 (2) $a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

正三角形ABCの頂点Aに点Pがある。硬貨を投げて表が出れば時計回りに、裏が出れば反時計回りに隣の頂点に移動する。硬貨をn回投げたとき、点Pが頂点Aに戻る確率を$a_n$とする。

(1) $n \ge 2$に対し、$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表せ。

(2) $a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

n回目に点Pが頂点Aにあるのは、n-1回目に点Pが頂点BまたはCにあり、n回目に点PがAに戻る場合である。

n-1回目に点Pが頂点Aにない確率 $1 - a_{n-1}$ であり、これは点Pが頂点BまたはCにある確率に等しい。点Pが頂点Bにある確率は$(1 - a_{n-1})/2$、点Pが頂点Cにある確率は$(1 - a_{n-1})/2$である。

n回目に点Pが頂点Aに戻る確率は、n-1回目に頂点Bにいた場合に裏が出る確率$1/2$、または、n-1回目に頂点Cにいた場合に表が出る確率$1/2$である。

したがって、

$a_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - a_{n-1}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - a_{n-1}}{2}$

$a_n = \frac{1}{2} (1 - a_{n-1})$

(2)

漸化式 $a_n = \frac{1}{2} (1 - a_{n-1})$ を解く。

$a_n - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} (a_{n-1} - \frac{1}{3})$

ここで、$a_1 = 0$ より、$a_2 = \frac{1}{2}(1 - a_1) = \frac{1}{2}$

$a_n - \frac{1}{3} = (a_2 - \frac{1}{3}) (-\frac{1}{2})^{n-2}$

$a_n - \frac{1}{3} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) (-\frac{1}{2})^{n-2}$

$a_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} (-\frac{1}{2})^{n-2}$

$a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (-\frac{1}{2})^{n-2}$

$a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (-\frac{1}{2})^{n-2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (-\frac{1}{2})^n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{2}(1 - a_{n-1})$

(2) $a_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (-\frac{1}{2})^n$