問題は、次の極限を求めることです。 (5) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{2-x} - \sqrt{x}}$ (6) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

(5) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{2-x} - \sqrt{x}}$

(6) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$

2. 解き方の手順

(5)

まず、$x=1$を代入すると$\frac{0}{0}$の不定形になるので、分母を有理化します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{2-x} - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{x})}{(\sqrt{2-x} - \sqrt{x})(\sqrt{2-x} + \sqrt{x})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{x})}{2-x-x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{x})}{2-2x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{2-x} + \sqrt{x})}{-2(x-1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{x}}{-2} = \frac{\sqrt{2-1} + \sqrt{1}}{-2} = \frac{1+1}{-2} = -1$

(6)

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{x^2+1} - x$も不定形なので、有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1} - x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1)} = 0$

3. 最終的な答え

(5) $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{2-x} - \sqrt{x}} = -1$

(6) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x) = 0$