問題14は、$x = \tan{\frac{y}{2}}$のとき、$ \frac{dy}{dx} $ を $ x $ で表す問題です。

1. 問題の内容

問題14は、$x = \tan{\frac{y}{2}}$のとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ について解きます。

$x = \tan{\frac{y}{2}}$ より、

$\frac{y}{2} = \arctan{x}$

したがって、

$y = 2\arctan{x}$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2\arctan{x})$

$\frac{dy}{dx} = 2 \frac{d}{dx}(\arctan{x})$

$\arctan{x}$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$