(1) $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ ならば $\theta$ はいくらか。また、$\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ ならば $\theta$ はいくらか。 (2) $\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$ を計算せよ。 (3) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$ を計算せよ。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ ならば $\theta$ はいくらか。また、$\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ ならば $\theta$ はいくらか。

(2) $\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$ を計算せよ。

(3) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ より、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ である。$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ の範囲で $\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 60^\circ$ のとき。

$\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ より、$\cos(180^\circ - \theta) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$ なので、$-\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ つまり $\cos \theta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ の範囲で $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $\theta = 30^\circ$ のとき。

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ の範囲で $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は存在しない。

したがって $\theta = 30^\circ$ である。

(2)

$\sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$

$\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ$

$\sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ$

$\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$

よって

$\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ = \sin 20^\circ \sin 20^\circ - (-\cos 20^\circ) \cos 20^\circ = \sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ = 1$

(3)

$\tan 55^\circ = \tan(90^\circ - 35^\circ) = \frac{1}{\tan 35^\circ}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$

よって

$\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ = \tan 35^\circ \cdot \frac{1}{\tan 35^\circ} - 1 \cdot (-1) = 1 - (-1) = 1+1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ, \theta = 30^\circ$

(2) 1

(3) 2