与えられた関数 $y = \sqrt{x} - \frac{x\sqrt{x}}{3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt{x} - \frac{x\sqrt{x}}{3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ をより扱いやすい形に変形します。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ であることを利用すると、

$$y = x^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{3} = x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

となります。

次に、各項を微分します。

$x^{\frac{1}{2}}$ の微分は $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ であり、

$x^{\frac{3}{2}}$ の微分は $\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$ です。

したがって、

$$y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}$$

となります。

$y'$ を整理します。

$$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{2\sqrt{x}} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$$

3. 最終的な答え

$$y' = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$$