(7) $\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2 + 1} - x)$ (8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 1}$ をそれぞれ計算する問題です。

1. 問題の内容

(7) $\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2 + 1} - x)$

(8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 1}$

をそれぞれ計算する問題です。

2. 解き方の手順

(7)

$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2 + 1} - x)$について考えます。

まず、$\sqrt{x^2 + 1} - x$ の部分を有理化します。

$\sqrt{x^2 + 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 1} - x)(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$

ここで、$x$ で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}$

(8)

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 1}$ について考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x} = 3$ および $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{3x} - 1}{x}}{\frac{e^x - 1}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}} = \frac{3}{1} = 3$

あるいは、ロピタルの定理を利用することもできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{3e^{3x}}{e^x} = \frac{3e^0}{e^0} = \frac{3}{1} = 3$

3. 最終的な答え

(7) $\frac{1}{2}$

(8) $3$