与えられた関数 $y = (-x^2 + x)e^{-x}$ の導関数が $y' = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}$ であることを確認する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = (-x^2 + x)e^{-x}$ の導関数が $y' = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}$ であることを確認する問題です。

2. 解き方の手順

導関数を求めるために、積の微分法則を使用します。積の微分法則は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が $(uv)' = u'v + uv'$ であることを示しています。

この問題では、$u(x) = -x^2 + x$ と $v(x) = e^{-x}$ とします。

まず、$u(x)$ の導関数を計算します。

$u'(x) = -2x + 1$

次に、$v(x)$ の導関数を計算します。

$v'(x) = -e^{-x}$

次に、積の微分法則を適用します。

$y' = u'v + uv'$

$y' = (-2x + 1)e^{-x} + (-x^2 + x)(-e^{-x})$

$y' = (-2x + 1)e^{-x} + (x^2 - x)e^{-x}$

$y' = (-2x + 1 + x^2 - x)e^{-x}$

$y' = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}$

3. 最終的な答え

与えられた関数 $y = (-x^2 + x)e^{-x}$ の導関数は $y' = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}$ であり、問題文に示されている導関数と一致します。