与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

各関数の微分を個別に計算します。

(1) $f(x) = -5x^5 + 4x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x$

多項式の微分は、各項を個別に微分し、それらを足し合わせます。

$f'(x) = -5(5x^4) + 4(4x^3) - 3(3x^2) + 2(2x) - 1$

$f'(x) = -25x^4 + 16x^3 - 9x^2 + 4x - 1$

(2) $f(x) = \frac{1}{x^{10}} = x^{-10}$

べき関数の微分公式を使います。

$f'(x) = -10x^{-11} = -\frac{10}{x^{11}}$

(3) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{x} = x^2 - 2x + 3 - \frac{4}{x} = x^2 - 2x + 3 - 4x^{-1}$

各項を個別に微分します。

$f'(x) = 2x - 2 + 0 - 4(-1)x^{-2}$

$f'(x) = 2x - 2 + \frac{4}{x^2}$

(4) $f(x) = (x^2 - 3x + 4)(x^2 - 3x - 1)$

積の微分公式を使います：$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^2 - 3x + 4$, $u' = 2x - 3$

$v = x^2 - 3x - 1$, $v' = 2x - 3$

$f'(x) = (2x - 3)(x^2 - 3x - 1) + (x^2 - 3x + 4)(2x - 3)$

$f'(x) = (2x - 3)(x^2 - 3x - 1 + x^2 - 3x + 4)$

$f'(x) = (2x - 3)(2x^2 - 6x + 3)$

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x - 6x^2 + 18x - 9$

$f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x - 9$

(5) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 4}{x^2 - 3x - 1}$

商の微分公式を使います：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x^2 - 3x + 4$, $u' = 2x - 3$

$v = x^2 - 3x - 1$, $v' = 2x - 3$

$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x^2 - 3x - 1) - (x^2 - 3x + 4)(2x - 3)}{(x^2 - 3x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x - 3)(x^2 - 3x - 1 - x^2 + 3x - 4)}{(x^2 - 3x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x - 3)(-5)}{(x^2 - 3x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{-10x + 15}{(x^2 - 3x - 1)^2}$

(6) $f(x) = (x^2 + 2x + 2)e^x$

積の微分公式を使います：$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x^2 + 2x + 2$, $u' = 2x + 2$

$v = e^x$, $v' = e^x$

$f'(x) = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x + 2)e^x$

$f'(x) = (2x + 2 + x^2 + 2x + 2)e^x$

$f'(x) = (x^2 + 4x + 4)e^x$

$f'(x) = (x + 2)^2e^x$

3. 最終的な答え

(1) $-25x^4 + 16x^3 - 9x^2 + 4x - 1$

(2) $-\frac{10}{x^{11}}$

(3) $2x - 2 + \frac{4}{x^2}$

(4) $4x^3 - 18x^2 + 24x - 9$

(5) $\frac{-10x + 15}{(x^2 - 3x - 1)^2}$

(6) $(x + 2)^2e^x$