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与えられた関数 $y = x(1 + \log x)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。また、与えられた $y' = \log x + 2$ が正しいか確認します。

解析学微分導関数対数関数積の微分法
2025/6/1

1. 問題の内容

与えられた関数 y=x(1+log⁡x)y = x(1 + \log x) の導関数 y′y' を求める問題です。また、与えられた y′=log⁡x+2y' = \log x + 2 が正しいか確認します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を展開します。
y=x+xlog⁡xy = x + x \log x
次に、積の微分法 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' を用いて、微分します。
y′=(x)′+(xlog⁡x)′y' = (x)' + (x \log x)'
y′=1+(1⋅log⁡x+x⋅1x)y' = 1 + (1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x})
y′=1+(log⁡x+1)y' = 1 + (\log x + 1)
y′=log⁡x+2y' = \log x + 2

3. 最終的な答え

与えられた関数の導関数は、y′=log⁡x+2y' = \log x + 2 です。これは、問題で与えられた導関数と一致します。
最終的な答え：
y′=log⁡x+2y' = \log x + 2

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