## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 曲線 $y = x^2 + 2$ に点 $(1, -1)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。空欄を埋める形式になっています。

2. 関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x + 7$ の極値を求める問題です。極大値と極小値を求める必要があります。極値がない場合は0と答えます。

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2. 解き方の手順

### 問題1

1. **微分**: まず、与えられた曲線 $y = x^2 + 2$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 2x$

したがって、1の空欄は **2** です。

2. **接線の方程式**: 接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点の座標は $(t, t^2 + 2)$ となり、接線の傾きは $2t$ となります。よって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^2 + 2) = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 + 2$

$y = 2tx - t^2 + 2$

したがって、2の空欄は **2** 、3の空欄は **2** です。

3. **接点座標の特定**: 接線が点 $(1, -1)$ を通るので、接線の方程式に $x = 1, y = -1$ を代入します。

$-1 = 2t(1) - t^2 + 2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

したがって、4の空欄は **3** 、5の空欄は **-1** 、6の空欄は存在しません。

4. **接線の方程式の決定**: $t = 3$ のとき、接線の方程式は

$y = 2(3)x - 3^2 + 2$

$y = 6x - 7$

$t = -1$ のとき、接線の方程式は

$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 2$

$y = -2x + 1$

空欄に当てはまるように、与えられた形式に合わせると、$t=3$の場合、$y = 6x - 7$ となります。したがって、7の空欄は **6** 、8の空欄は存在せず、9の空欄は **-7** です。 $t=-1$の場合、$y = -2x + 1$となり、10の空欄は **-2**、11の空欄は **1**です。

### 問題2

1. **微分**: まず、与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x + 7$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = x^2 + 4x - 3$

2. **極値の候補**: $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x^2 + 4x - 3 = 0$

解の公式を用いて、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2}$

$x = -2 \pm \sqrt{7}$

3. **増減表**: $x = -2 - \sqrt{7}$ と $x = -2 + \sqrt{7}$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成します。

$f'(x) = (x - (-2 - \sqrt{7}))(x - (-2 + \sqrt{7}))$

* $x < -2 - \sqrt{7}$ のとき、$f'(x) > 0$

* $-2 - \sqrt{7} < x < -2 + \sqrt{7}$ のとき、$f'(x) < 0$

* $x > -2 + \sqrt{7}$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、

* $x = -2 - \sqrt{7}$ で極大値をとる

* $x = -2 + \sqrt{7}$ で極小値をとる

4. **極値の計算**:

極大値: $f(-2 - \sqrt{7}) = \frac{1}{3}(-2 - \sqrt{7})^3 + 2(-2 - \sqrt{7})^2 - 3(-2 - \sqrt{7}) + 7 \approx 17.4$

極小値: $f(-2 + \sqrt{7}) = \frac{1}{3}(-2 + \sqrt{7})^3 + 2(-2 + \sqrt{7})^2 - 3(-2 + \sqrt{7}) + 7 \approx -0.77$

したがって、12の空欄は **17.4**、13の空欄は **-0**、14の空欄は **.7**、15の空欄は **7** となります。

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3. 最終的な答え

**問題1**:

1: 2

2: 2

3: 2

4: 3

5: -1

6:

7: 6

8:

9: -7

10: -2

11: 1

**問題2**:

12: 17.4

13: -0

14: .7

15: 7