与えられた関数 $y = \frac{x^3 - 5x}{x^2 + 3}$ の導関数 $y'$ が $y' = \frac{(x+1)(x-1)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$ であることを確認する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x^3 - 5x}{x^2 + 3}$ の導関数 $y'$ が $y' = \frac{(x+1)(x-1)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$ であることを確認する問題です。

2. 解き方の手順

関数の導関数を求めるには、商の微分法則を使用します。商の微分法則は次のとおりです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x^3 - 5x$ および $v = x^2 + 3$ です。

まず、$u$ と $v$ の導関数を求めます。

$u' = 3x^2 - 5$

$v' = 2x$

次に、商の微分法則を適用します。

$y' = \frac{(3x^2 - 5)(x^2 + 3) - (x^3 - 5x)(2x)}{(x^2 + 3)^2}$

分子を展開して整理します。

$y' = \frac{3x^4 + 9x^2 - 5x^2 - 15 - (2x^4 - 10x^2)}{(x^2 + 3)^2}$

$y' = \frac{3x^4 + 4x^2 - 15 - 2x^4 + 10x^2}{(x^2 + 3)^2}$

$y' = \frac{x^4 + 14x^2 - 15}{(x^2 + 3)^2}$

分子を因数分解します。

$x^4 + 14x^2 - 15 = (x^2 + 15)(x^2 - 1) = (x^2 + 15)(x + 1)(x - 1)$

したがって、

$y' = \frac{(x + 1)(x - 1)(x^2 + 15)}{(x^2 + 3)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{(x+1)(x-1)(x^2+15)}{(x^2+3)^2}$