関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x + 7$ の極値を求めよ。極値がない場合は0と答える。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x + 7$ の極値を求めよ。極値がない場合は0と答える。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = -x^2 + 4x - 3$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-x^2 + 4x - 3 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

したがって、$x = 1, 3$

次に、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = -2x + 4$

$f''(1) = -2(1) + 4 = 2 > 0$ であるから、$x = 1$ で極小値をとる。

$f(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 + 2(1)^2 - 3(1) + 7 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 + 7 = 6 - \frac{1}{3} = \frac{18}{3} - \frac{1}{3} = \frac{17}{3}$

$f''(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2 < 0$ であるから、$x = 3$ で極大値をとる。

$f(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) + 7 = -\frac{1}{3}(27) + 2(9) - 9 + 7 = -9 + 18 - 9 + 7 = 7$

したがって、極大値は7、極小値は $\frac{17}{3}$ となる。

3. 最終的な答え

極大値：7

極小値：17/3