曲線 $y = x^2 + 2$ に、点 $(1, -1)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2$ に、点 $(1, -1)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + 2$ を微分して、$y'$ を求めます。

$y' = 2x$

接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、接線の傾きは $2t$ となり、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t^2 + 2) = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 + 2$

$y = 2tx - t^2 + 2$

これが点 $(1, -1)$ を通るので、$x = 1$, $y = -1$ を代入します。

$-1 = 2t(1) - t^2 + 2$

$0 = 2t - t^2 + 3$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

したがって、$t = 3, -1$ です。

$t = 3$ のとき、接線の方程式は

$y = 2(3)x - (3)^2 + 2$

$y = 6x - 9 + 2$

$y = 6x - 7$

$t = -1$ のとき、接線の方程式は

$y = 2(-1)x - (-1)^2 + 2$

$y = -2x - 1 + 2$

$y = -2x + 1$

3. 最終的な答え

1: 2

2: 2

3: 2

4: 3

5: -1

6: -3

7: 6

8: -7

9: 1

10: -2

11: -2x + 1

よって、接線の方程式は $y = 6x - 7$ および $y = -2x + 1$となります。