与えられた3つの関数について、それぞれの$x$に関する微分を計算する問題です。 (1) $y_1 = \frac{d}{dx} (\frac{x+2}{x+1})$ (2) $y_2 = \frac{d}{dx} (\frac{2x}{x+2})$ (3) $y_3 = \frac{d}{dx} (\frac{1}{\sin x})$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの$x$に関する微分を計算する問題です。

(1) $y_1 = \frac{d}{dx} (\frac{x+2}{x+1})$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx} (\frac{2x}{x+2})$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx} (\frac{1}{\sin x})$

2. 解き方の手順

(1) $y_1$ の計算：商の微分公式を利用します。$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = x+2$、$v = x+1$ とすると、$u' = 1$、$v' = 1$。したがって、

$y_1 = \frac{1 \cdot (x+1) - (x+2) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x - 2}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$

(2) $y_2$ の計算：これも商の微分公式を利用します。

ここで、$u = 2x$、$v = x+2$ とすると、$u' = 2$、$v' = 1$。したがって、

$y_2 = \frac{2 \cdot (x+2) - (2x) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2x+4 - 2x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x+2)^2}$

(3) $y_3$ の計算：$\frac{1}{\sin x} = \csc x$ であることを利用します。$\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x$

$y_3 = \frac{d}{dx} (\frac{1}{\sin x}) = \frac{d}{dx} (\csc x) = -\csc x \cot x = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

(1) $y_1 = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(2) $y_2 = \frac{4}{(x+2)^2}$

(3) $y_3 = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$