媒介変数表示された関数 $x = 1 - t^4$, $y = t - t^3$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された関数 $x = 1 - t^4$, $y = t - t^3$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - t^4) = -4t^3$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(t - t^3) = 1 - 3t^2$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。これは $\frac{dy}{dt}$ を $\frac{dx}{dt}$ で割ることで求められます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1 - 3t^2}{-4t^3} = \frac{3t^2 - 1}{4t^3}$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算します。これは $\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$ を求めることと同じです。媒介変数表示されているので、次のように計算します。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{\frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right)}{\frac{dx}{dt}}$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{3t^2 - 1}{4t^3} \right)$

商の微分公式を使って計算します。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$\frac{d}{dt} \left( \frac{3t^2 - 1}{4t^3} \right) = \frac{(6t)(4t^3) - (3t^2 - 1)(12t^2)}{(4t^3)^2} = \frac{24t^4 - (36t^4 - 12t^2)}{16t^6} = \frac{-12t^4 + 12t^2}{16t^6} = \frac{-12t^2(t^2 - 1)}{16t^6} = \frac{-3(t^2 - 1)}{4t^4}$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{-3(t^2 - 1)}{4t^4}}{-4t^3} = \frac{-3(t^2 - 1)}{4t^4} \cdot \frac{1}{-4t^3} = \frac{3(t^2 - 1)}{16t^7}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 1}{4t^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3(t^2 - 1)}{16t^7}$